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FMCW-Radar-Rechner

Ein FMCW-Radar fährt seine Frequenz in einem Chirp hoch und liest die Entfernung eines Ziels aus der Schwebungsfrequenz zwischen gesendetem Chirp und empfangenem Echo ab. Dieser Rechner bestimmt aus Chirp-Bandbreite, Chirp-Dauer, ADC-Abtastrate und Chirps pro Frame die Entfernungsauflösung, die maximale Reichweite, die maximale Geschwindigkeit und die Geschwindigkeitsauflösung, mit den Gleichungen von TI für 77-GHz-Sensoren.

Startfrequenz des Chirps. Sie bestimmt die Wellenlänge und ändert daher nur die Geschwindigkeitswerte.

Wie weit der Chirp die Frequenz durchfährt. Sie allein bestimmt die Entfernungsauflösung.

Rampenzeit eines Chirps. Die Geschwindigkeitswerte behandeln sie als Chirp-Periode und setzen also keine Pause zwischen den Chirps voraus.

Abtastwerte pro Sekunde des ZF-Signals. Zusammen mit der Chirp-Steigung bestimmt sie die maximale Reichweite.

Komplexe Abtastung lässt das 0,9-Fache der Abtastrate durch, reelle Abtastung die Hälfte davon. Der Modus „complex 2x“ von TI verhält sich hier wie reell.

Eine ganze Zahl. Mehr Chirps verlängern den Frame und verfeinern die Geschwindigkeitsauflösung.

Entfernungsauflösung
3,747
allein durch die Bandbreite bestimmt · 400 ADC-Abtastwerte (Range-Bins) pro Chirp
Chirp-Steigung
100
S = B / T_c
Maximale Reichweite
13,49
ZF-Grenze 9 MHz (90 % von 10 MHz). Ideale Grenze: 14,99 m.
Maximale Geschwindigkeit
±24,33
eindeutig, auf das Radar zu oder weg · λ = 3,893 mm
Geschwindigkeitsauflösung
0,3802
über einen Frame aus 128 Chirps
Frame-Dauer
5,12
N × T_c, ohne Pausen

Schwebungsfrequenz ↔ Entfernung

Die Schwebungsfrequenz wächst proportional zur Entfernung, bei dieser Chirp-Steigung.

Schwebungsfrequenz
6,671
Laufzeit hin und zurück τ = 66,71 ns
Chirp · Frequenz über Zeit · linear, τ überhöhtZF-Spektrum · lineare Frequenz, MHz81 GHz77 GHzTXRXfb = 6,671 MHzτ = 0,0667 µsB = 4 GHzTc = 40 µs0510Rmax = 13,49 mR = 10 m

Oben: ein Chirp, Frequenz über der Zeit, beide Achsen linear. Die grüne Linie ist der gesendete Chirp (TX), der die Bandbreite B in der Chirp-Dauer T_c durchläuft. Die gestrichelte graue Linie ist das Echo (RX), derselbe Chirp, um die Laufzeit τ verzögert. Der senkrechte Abstand zwischen beiden ist die Schwebungsfrequenz f_b. τ und f_b sind viel größer gezeichnet als in Wirklichkeit (τ beträgt wenige Nanosekunden pro Meter), wachsen aber mit der Zielentfernung. Unten: das ZF-Spektrum, maßstäblich. Der grüne Balken ist der Schwebungston des Ziels. Die gelbe Linie ist die nutzbare ZF-Grenze, die die maximale Reichweite festlegt. Im schraffierten Bereich dahinter wird das Signal weggefiltert oder gefaltet. Jede Beschriftung verwendet die Einheit, die Sie für diese Größe zuletzt gewählt haben.

Ideale Chirps: eine lineare Rampe, keine Pause zwischen den Chirps und ein ADC, der die ganze Rampe abtastet. Mit Pausen ist die echte Chirp-Periode länger. Maximale Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsauflösung fallen dann etwas schlechter aus als angezeigt. Die maximale Reichweite ist nur die Grenze der ZF-Bandbreite. Für die Erkennung braucht es zusätzlich genug Signal-Rausch-Abstand. Manche Lehrbücher nennen λ/2T_c als maximale Geschwindigkeit und meinen damit die volle Spanne von −v_max bis +v_max.

FMCW-Begriffe in einer Minute

Ein FMCW-Radar vergleicht den Chirp, den es gerade sendet, mit dem Echo eines früheren Teils desselben Chirps. Diese Begriffe verwendet der Rechner.

Chirp
Ein Signal, dessen Frequenz gleichmäßig mit der Zeit steigt, hier von der Trägerfrequenz f_c bis f_c + B in der Chirp-Dauer T_c.
Chirp-Steigung (S)
Wie schnell der Chirp die Frequenz durchfährt, Bandbreite geteilt durch Dauer. TI gibt sie in MHz/µs an.
Schwebungsfrequenz (ZF)
Das Mischen des Echos mit dem gerade gesendeten Chirp ergibt einen Ton bei der Frequenzdifferenz. Er ist proportional zur Zielentfernung.
ADC-Abtastrate
Wie oft pro Sekunde der Wandler das ZF-Signal abtastet. Sie begrenzt die höchste Schwebungsfrequenz und damit die Reichweite.
Komplexe (I/Q) und reelle Abtastung
Komplexe Abtastung zeichnet zwei um 90° versetzte Kanäle auf. Sie unterscheidet positive von negativen Frequenzen und nutzt die volle Abtastrate. Reelle Abtastung sieht nur 0 bis zur halben Abtastrate.
Range-Bin
Ein Frequenz-Bin der FFT über die Abtastwerte eines Chirps. Jedes Bin ist eine Entfernungsauflösung breit.
Frame
Eine Folge von N Chirps. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Phasenänderung des Echos von Chirp zu Chirp über den Frame.

So funktioniert es

  1. 01

    Chirp festlegen

    Der Chirp durchläuft die Bandbreite B in der Chirp-Dauer Tc. Seine Steigung ist also S = B / Tc. Die Standardwerte, 4 GHz in 40 µs, ergeben 100 MHz/µs.

  2. 02

    Entfernung aus der Schwebungsfrequenz ablesen

    Das Echo eines Ziels in der Entfernung R kommt um τ = 2R / c später an. Es liegt daher um fb = S·τ = 2RS / c unter dem gerade gesendeten Chirp. Bei 100 MHz/µs schwebt ein Ziel in 10 m mit 6,671 MHz, rund 667 kHz pro Meter.

  3. 03

    Auflösung aus der Bandbreite

    Zwei Ziele lassen sich trennen, wenn ihre Schwebungstöne mehr als ein FFT-Bin auseinanderliegen. Daraus folgt ΔR = c / 2B, unabhängig von Chirp-Länge und Trägerfrequenz. 4 GHz lösen 3,747 cm auf.

  4. 04

    Maximale Reichweite aus dem ADC

    Der Empfänger lässt Schwebungsfrequenzen bis IFmax = 0,9·fs bei komplexer und 0,9·fs/2 bei reeller Abtastung durch. Dann gilt Rmax = IFmax·c / 2S. Bei 10 Msps komplex und 100 MHz/µs sind das 13,49 m.

  5. 05

    Geschwindigkeit aus Chirps und Frame

    Die Phase des Echos dreht sich von Chirp zu Chirp, wenn sich das Ziel bewegt. Ein kürzerer Chirp erlaubt eine höhere Geschwindigkeit, vmax = λ / 4Tc. Ein längerer Frame aus N Chirps löst feinere Geschwindigkeitsstufen auf, Δv = λ / (2·N·Tc).

Formeln

Chirp-Steigung und Schwebungsfrequenz (TI SPYY005A)
S = BTc, fb = S·τ = 2·R·Sc
  • B — Chirp-Bandbreite, Hz
  • Tc — Chirp-Dauer, s
  • S — Chirp-Steigung, Hz/s (TI gibt MHz/µs an)
  • τ = 2R/c — Laufzeit hin und zurück, s
  • R — Zielentfernung, m; c = 299 792 458 m/s
Entfernungsauflösung (SPYY005A Gl. 9)
ΔR = c2·B
  • ΔR — Entfernungsauflösung, m
  • hängt nur von der durchlaufenen Bandbreite ab
Maximale Reichweite aus der ZF-Bandbreite (TI SWRA553A Gl. 1)
Rmax = IFmax·c2·S
  • IFmax = 0,9·fs — komplexe Abtastung (I/Q)
  • IFmax = 0,9·fs/2 — reelle Abtastung (und „complex 2x“ bei TI)
  • fs — ADC-Abtastrate, Abtastwerte/s
  • 0,9 — Anteil der idealen ZF-Bandbreite, den die Filter von TI durchlassen
Maximale Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsauflösung (SPYY005A Gl. 12 und 14)
vmax = λ4·Tc, Δv = λ2·N·Tc
  • λ = c/fc — Wellenlänge bei der Trägerfrequenz, m
  • vmax — höchste eindeutige Geschwindigkeit, in beide Richtungen, m/s
  • N — Chirps pro Frame; Tf = N·Tc ist die Frame-Dauer
  • Tc ist hier die volle Chirp-Periode (ohne Pause)

Rechenbeispiel

77 GHz, 4 GHz in 40 µs, 10 Msps komplex, 128 Chirps (die Standardwerte)
  1. Steigung: S = 4 GHz / 40 µs = 100 MHz/µs
  2. Entfernungsauflösung: ΔR = c / (2 · 4 GHz) = 3,747 cm
  3. maximale Reichweite: IFmax = 0,9 · 10 MHz = 9 MHz → Rmax = 9 MHz · c / (2 · 100 MHz/µs) = 13,49 m (ideal 14,99 m, reelle Abtastung 6,745 m)
  4. maximale Geschwindigkeit: λ = c / 77 GHz = 3,893 mm → vmax = 3,893 mm / (4 · 40 µs) = ±24,33 m/s (87,6 km/h)
  5. Geschwindigkeitsauflösung: Tf = 128 · 40 µs = 5,12 ms → Δv = 3,893 mm / (2 · 5,12 ms) = 0,3802 m/s
  6. Ziel in 10 m: τ = 66,71 ns → fb = 100 MHz/µs · 66,71 ns = 6,671 MHz

FAQ

Warum bestimmt allein die Bandbreite die Entfernungsauflösung?
Weil sich die Chirp-Dauer herauskürzt. Zwei Ziele erscheinen als zwei Schwebungstöne, und eine FFT über einen Chirp der Länge Tc trennt nur Töne, die mindestens 1/Tc auseinanderliegen. Ziele im Abstand ΔR unterscheiden sich in der Schwebungsfrequenz um 2·ΔR·S / c. Setzt man das gleich 1/Tc, folgt ΔR = c / (2·S·Tc) = c / 2B. 4 GHz lösen also 3,75 cm auf, bei jeder Chirp-Länge und jeder Trägerfrequenz. Ein langsamerer Chirp verteilt dieselben Töne nur auf eine längere Zeit.
Warum halbiert reelle Abtastung die maximale Reichweite?
Weil ein reeller ADC nur Frequenzen von 0 bis zur halben Abtastrate nutzen kann. Ein reelles Signal hat spiegelbildliche positive und negative Frequenzen, alles über fs/2 wird zurückgefaltet (Nyquist). Komplexe I/Q-Abtastung zeichnet zwei um 90° versetzte Kanäle auf, hält beide Seiten auseinander und nutzt die volle Rate fs. Die Schwebungsfrequenz wächst proportional zur Entfernung. Die halbe ZF-Bandbreite bedeutet also die halbe Reichweite, bei den Standardwerten 13,49 m komplex und 6,745 m reell.
Warum 90 % der Abtastrate und nicht 100 %?
Weil das Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC Platz zum Abfallen braucht. Der TI-Anwendungsbericht SWRA553A begrenzt die ZF-Bandbreite im Modus „complex 1x“ auf das 0,9-Fache der Abtastrate, in den Modi „complex 2x“ und reell auf das 0,9-Fache der halben Rate. Der Rechner nutzt diesen nutzbaren Wert für die maximale Reichweite und zeigt die ideale Grenze unter dem Ergebnis.
Wie erreiche ich eine höhere maximale Geschwindigkeit oder feinere Stufen?
Kürzere Chirps erhöhen die maximale Geschwindigkeit, mehr Chirps verfeinern die Stufen. vmax = λ / 4Tc verdoppelt sich, wenn der Chirp halb so lang ist. Δv = λ / (2·N·Tc) halbiert sich, wenn Sie die Chirps pro Frame verdoppeln. Der Haken: Ein kürzerer Chirp mit gleicher Bandbreite hat eine steilere Steigung. Das senkt die maximale Reichweite, wenn der ADC nicht schneller abtastet.
Ist die maximale Reichweite die Entfernung, in der das Radar ein Ziel erkennt?
Nein, sie ist nur die Grenze der ZF-Bandbreite. Ein Ziel jenseits davon erzeugt einen Schwebungston, den der Empfänger nicht durchlässt. Ob ein Ziel innerhalb erkannt wird, hängt vom Signal-Rausch-Verhältnis ab, also von Sendeleistung, Antennengewinn, Radarquerschnitt des Ziels und Empfängerrauschen. Das beantwortet die Radargleichung.

Diese Formeln setzen einen freien Pfad zwischen Radar und Ziel voraus. Für einen Radar- oder Funkstandort in echtem Gelände zeigt Waveshed, wo Hügel und Gebäude die Sicht versperren, kostenlos im Browser.

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