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Calculateur de radar FMCW

Un radar FMCW émet une rampe de fréquence (chirp) et déduit la distance d’une cible de la fréquence de battement entre le chirp émis et l’écho reçu. Ce calculateur tire de la bande, de la durée du chirp, de la cadence de l’ADC et du nombre de chirps par trame la résolution en distance, la portée et la vitesse maximales, et la résolution en vitesse.

Fréquence de départ du chirp. Elle fixe la longueur d’onde et ne change donc que les résultats de vitesse.

L’étendue balayée par le chirp. Elle seule fixe la résolution en distance.

Durée de la rampe d’un chirp. Les résultats de vitesse la traitent comme la période du chirp et supposent donc aucun temps mort entre les chirps.

Échantillons par seconde du signal FI. Avec la pente du chirp, elle fixe la portée maximale.

L’échantillonnage complexe laisse passer 0,9 fois la cadence, l’échantillonnage réel la moitié. Le mode « complex 2x » de TI se comporte ici comme le réel.

Un nombre entier. Plus de chirps allongent la trame et affinent la résolution en vitesse.

Résolution en distance
3,747
fixée par la seule bande · 400 échantillons ADC (cases distance) par chirp
Pente du chirp
100
S = B / T_c
Portée maximale
13,49
Limite FI 9 MHz (90 % de 10 MHz). Limite idéale : 14,99 m.
Vitesse maximale
±24,33
non ambiguë, en approche ou en éloignement · λ = 3,893 mm
Résolution en vitesse
0,3802
sur une trame de 128 chirps
Durée de trame
5,12
N × T_c, sans temps mort

Fréquence de battement ↔ distance

La fréquence de battement croît en proportion de la distance, à cette pente de chirp.

Fréquence de battement
6,671
aller-retour τ = 66,71 ns
chirp · fréquence et temps · linéaire, τ exagéréspectre FI · fréquence linéaire, MHz81 GHz77 GHzTXRXfb = 6,671 MHzτ = 0,0667 µsB = 4 GHzTc = 40 µs0510Rmax = 13,49 mR = 10 m

En haut : un chirp, fréquence en fonction du temps, axes linéaires. La ligne verte est le chirp émis (TX), qui parcourt la bande B pendant la durée T_c. La ligne grise pointillée est l’écho (RX), le même chirp retardé de l’aller-retour τ. L’écart vertical entre les deux est la fréquence de battement f_b. τ et f_b sont dessinés bien plus grands qu’en réalité (τ vaut quelques nanosecondes par mètre), mais ils croissent avec la distance de la cible. En bas : le spectre FI, à l’échelle. La barre verte est la raie de battement de la cible. La ligne orange est la limite FI utilisable, qui fixe la portée maximale. Au-delà, dans la zone hachurée, le signal est filtré ou replié. Chaque étiquette utilise la dernière unité choisie pour cette grandeur.

Chirps idéaux : une rampe linéaire, aucun temps mort entre les chirps et un ADC qui échantillonne toute la rampe. Avec des temps morts, la période réelle du chirp est plus longue, et la vitesse maximale comme la résolution en vitesse sont un peu moins bonnes qu’affiché. La portée maximale n’est que la limite de la bande FI. La détection exige en plus un rapport signal sur bruit suffisant. Certains ouvrages donnent λ/2T_c comme vitesse maximale, c’est-à-dire l’étendue complète de −v_max à +v_max.

Le vocabulaire FMCW en une minute

Un radar FMCW compare le chirp qu’il émet avec l’écho d’une partie antérieure du même chirp. Voici les termes qu’utilise le calculateur.

Chirp (rampe de fréquence)
Un signal dont la fréquence monte régulièrement avec le temps, ici de la porteuse f_c à f_c + B pendant la durée T_c.
Pente du chirp (S)
La vitesse de balayage, bande divisée par durée. TI l’exprime en MHz/µs.
Fréquence de battement (FI)
Le mélange de l’écho avec le chirp en cours d’émission donne une raie à leur différence de fréquence. Elle est proportionnelle à la distance de la cible.
Cadence de l’ADC
Le nombre d’échantillons du signal FI pris chaque seconde. Elle plafonne la fréquence de battement et donc la portée.
Échantillonnage complexe (I/Q) ou réel
L’échantillonnage complexe enregistre deux voies décalées de 90°. Il distingue les fréquences positives des négatives et utilise toute la cadence. L’échantillonnage réel ne voit que de 0 à la moitié de la cadence.
Case distance
Une case de la FFT calculée sur les échantillons d’un chirp. Chaque case a la largeur d’une résolution en distance.
Trame
Une salve de N chirps. La vitesse se déduit de la variation de phase de l’écho d’un chirp à l’autre sur la trame.

Comment ça marche

  1. 01

    Définir le chirp

    Le chirp parcourt la bande B pendant la durée Tc. Sa pente vaut donc S = B / Tc. Les valeurs par défaut, 4 GHz en 40 µs, donnent 100 MHz/µs.

  2. 02

    Lire la distance dans la fréquence de battement

    L’écho d’une cible à la distance R arrive τ = 2R / c plus tard. Il reste donc fb = S·τ = 2RS / c sous le chirp en cours d’émission. À 100 MHz/µs, une cible à 10 m bat à 6,671 MHz, soit environ 667 kHz par mètre.

  3. 03

    Tirer la résolution de la bande

    Deux cibles se séparent quand leurs raies de battement diffèrent de plus d’une case de FFT. On obtient ΔR = c / 2B, quelles que soient la durée du chirp et la porteuse. 4 GHz résolvent 3,747 cm.

  4. 04

    Trouver la portée maximale avec l’ADC

    Le récepteur laisse passer les fréquences de battement jusqu’à IFmax = 0,9·fs en échantillonnage complexe et 0,9·fs/2 en réel. On a alors Rmax = IFmax·c / 2S, soit 13,49 m pour 10 Msps en complexe à 100 MHz/µs.

  5. 05

    Tirer la vitesse des chirps et de la trame

    La phase de l’écho tourne d’un chirp à l’autre quand la cible bouge. Un chirp plus court autorise une vitesse plus élevée, vmax = λ / 4Tc. Une trame plus longue de N chirps résout des écarts de vitesse plus fins, Δv = λ / (2·N·Tc).

Formules

Pente du chirp et fréquence de battement (TI SPYY005A)
S = BTc, fb = S·τ = 2·R·Sc
  • B — bande du chirp, Hz
  • Tc — durée du chirp, s
  • S — pente du chirp, Hz/s (TI l’exprime en MHz/µs)
  • τ = 2R/c — retard aller-retour, s
  • R — distance de la cible, m ; c = 299 792 458 m/s
Résolution en distance (SPYY005A éq. 9)
ΔR = c2·B
  • ΔR — résolution en distance, m
  • ne dépend que de la bande balayée
Portée maximale selon la bande FI (TI SWRA553A éq. 1)
Rmax = IFmax·c2·S
  • IFmax = 0,9·fs — échantillonnage complexe (I/Q)
  • IFmax = 0,9·fs/2 — échantillonnage réel (et « complex 2x » chez TI)
  • fs — cadence de l’ADC, échantillons/s
  • 0,9 — part de la bande FI idéale que laissent passer les filtres de TI
Vitesse maximale et résolution en vitesse (SPYY005A éq. 12 et 14)
vmax = λ4·Tc, Δv = λ2·N·Tc
  • λ = c/fc — longueur d’onde à la porteuse, m
  • vmax — vitesse non ambiguë la plus élevée, dans les deux sens, m/s
  • N — chirps par trame ; Tf = N·Tc est la durée de trame
  • Tc est ici la période complète du chirp (sans temps mort)

Exemple de calcul

77 GHz, 4 GHz en 40 µs, 10 Msps complexe, 128 chirps (les valeurs par défaut)
  1. pente : S = 4 GHz / 40 µs = 100 MHz/µs
  2. résolution en distance : ΔR = c / (2 · 4 GHz) = 3,747 cm
  3. portée maximale : IFmax = 0,9 · 10 MHz = 9 MHz → Rmax = 9 MHz · c / (2 · 100 MHz/µs) = 13,49 m (idéal 14,99 m, échantillonnage réel 6,745 m)
  4. vitesse maximale : λ = c / 77 GHz = 3,893 mm → vmax = 3,893 mm / (4 · 40 µs) = ±24,33 m/s (87,6 km/h)
  5. résolution en vitesse : Tf = 128 · 40 µs = 5,12 ms → Δv = 3,893 mm / (2 · 5,12 ms) = 0,3802 m/s
  6. cible à 10 m : τ = 66,71 ns → fb = 100 MHz/µs · 66,71 ns = 6,671 MHz

FAQ

Pourquoi la bande seule fixe-t-elle la résolution en distance ?
Parce que la durée du chirp se simplifie. Deux cibles donnent deux raies de battement, et une FFT sur un chirp de durée Tc ne sépare que des raies espacées d’au moins 1/Tc. Deux cibles distantes de ΔR diffèrent de 2·ΔR·S / c en fréquence de battement. En égalant cela à 1/Tc, on obtient ΔR = c / (2·S·Tc) = c / 2B. 4 GHz résolvent donc 3,75 cm, quelle que soit la durée du chirp ou la porteuse. Un chirp plus lent étale seulement les mêmes raies sur un temps plus long.
Pourquoi l’échantillonnage réel divise-t-il la portée maximale par deux ?
Parce qu’un ADC réel n’exploite que les fréquences de 0 à la moitié de sa cadence. Un signal réel a des fréquences positives et négatives symétriques, et tout ce qui dépasse fs/2 se replie (Nyquist). L’échantillonnage complexe I/Q enregistre deux voies décalées de 90°, sépare les deux côtés et utilise toute la cadence fs. La fréquence de battement croît en proportion de la distance. Une bande FI moitié moindre donne donc une portée moitié moindre, soit 13,49 m en complexe et 6,745 m en réel avec les valeurs par défaut.
Pourquoi 90 % de la cadence et pas 100 % ?
Parce que le filtre anti-repliement placé avant l’ADC a besoin de place pour décroître. La note d’application SWRA553A de TI limite la bande FI à 0,9 fois la cadence en mode « complex 1x » et à 0,9 fois la demi-cadence en modes « complex 2x » et réel. Le calculateur retient cette valeur utilisable pour la portée maximale et affiche la limite idéale sous le résultat.
Comment obtenir une vitesse maximale plus élevée ou des pas plus fins ?
Raccourcissez le chirp pour monter la vitesse maximale et ajoutez des chirps pour affiner les pas. vmax = λ / 4Tc double quand le chirp dure moitié moins. Δv = λ / (2·N·Tc) est divisé par deux quand vous doublez le nombre de chirps par trame. La contrepartie : un chirp plus court à bande égale a une pente plus forte, ce qui réduit la portée maximale si l’ADC n’échantillonne pas plus vite.
La portée maximale est-elle la distance de détection du radar ?
Non, c’est seulement la limite de la bande FI. Une cible au-delà produit une raie de battement que le récepteur ne laisse pas passer. La détection d’une cible en deçà dépend du rapport signal sur bruit, donc de la puissance émise, du gain d’antenne, de la surface équivalente radar de la cible et du bruit du récepteur. C’est le rôle de l’équation du radar.

Ces formules supposent un trajet dégagé entre le radar et sa cible. Pour un site radar ou radio en terrain réel, Waveshed montre où collines et bâtiments masquent la vue, gratuitement dans votre navigateur.

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