Warum steigt der Gewinn um 6 dB, wenn sich der Durchmesser verdoppelt?

Weil der Gewinn der Fläche folgt, nicht der Breite. Doppelter Durchmesser bedeutet vierfache Apertur, und 10 · log10(4) = 6,02 dB. Für die Frequenz gilt dasselbe. Bei doppelter Frequenz halbiert sich die Wellenlänge, der Spiegel misst doppelt so viele Wellenlängen und gewinnt weitere 6 dB.

Was steckt im Aperturwirkungsgrad, und warum 55 %?

Er bündelt alle Gründe, warum ein Spiegel hinter seiner geometrischen Fläche zurückbleibt. Der Erreger leuchtet die Mitte stärker aus als den Rand, ein Teil der Energie strahlt am Rand vorbei, Erreger und Streben verschatten die Fläche, und Formfehler streuen den Rest (Ruze-Gleichung). Ein Primärfokus-Spiegel liegt bei 0,55 bis 0,60, eine Offset-Antenne bei 0,65 bis 0,75, eine Cassegrain-Antenne bei 0,65 bis 0,70. ITU-R F.699 schätzt den Maximalgewinn mit 20 · log10(D / λ) + 7,7 dBi, bei D/λ = 100 also rund 48 dBi. Das entspricht einem Wirkungsgrad von etwa 60 %.

Welchen Gewinn hat eine 60-cm-Satellitenschüssel?

Eine 60-cm-Antenne bei 10,5 GHz mit 55 % Wirkungsgrad kommt auf etwa 33,8 dBi, bei einer Keulenbreite von rund 3,3°. Deshalb lässt sich eine Hausantenne von Hand ausrichten, während ein 3-m-Spiegel mit seiner 0,6°-Keule eine steife Halterung braucht.

Wie genau ist die Faustformel 70·λ/D?

Sie ist eine Näherung und trifft bei normaler Ausleuchtung auf etwa ±10 % zu. Der Vorfaktor hängt davon ab, wie der Erreger den Spiegel ausleuchtet. Bei gleichmäßiger Ausleuchtung liegt er nahe 58, bei stark abgesenktem Rand zur Unterdrückung der Nebenkeulen bei etwa 72. Eine Keulenbreite aus dem Datenblatt ist gemessen und schlägt die Formel immer.

Wie genau muss eine Parabolantenne ausgerichtet sein?

Ein Ausrichtfehler kostet ungefähr 12 · (Δθ / θ3dB)^2 dB. Eine halbe Keulenbreite daneben kostet also 3 dB, ein Viertel nur 0,75 dB. Bei einer 1,5°-Keule sind damit rund 0,4° Gesamtfehler aus Halterung, Wind und Vermessung tragbar. Oberhalb von 10 GHz wird das zum mechanischen Problem, lange bevor es ein funktechnisches ist.

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Parabolantennen-Gewinn-Rechner

Eine Parabolantenne bündelt Funkenergie zu einem schmalen Strahl, so wie ein Scheinwerferspiegel das Licht bündelt. Ihr Gewinn wächst mit dem Quadrat des Verhältnisses von Durchmesser zu Wellenlänge. Doppelter Durchmesser oder doppelte Frequenz bringen deshalb 6 dB. Der Rechner liefert aus Durchmesser, Frequenz und Aperturwirkungsgrad den Gewinn in dBi, die Halbwertsbreite und die Wirkfläche.

Spiegeldurchmesser

Frequenz

Aperturwirkungsgrad

Wie viel der Spiegelfläche wirklich arbeitet. 55 % ist der Standardwert für einen Primärfokus-Spiegel, 65 bis 75 % gelten für Offset- und Cassegrain-Antennen.

Gewinn

41,0 dBi

= 38,8 dBd · ×12520

Halbwertsbreite

1,46 °

θ₃dB ≈ 70·λ/D, etwa ±10 %

Wirkfläche

0,622 m²

geometrische Fläche 1,13 m²

Durchmesser in Wellenlängen

48,03 λ

λ = 2,498 cm

Seitenansicht einer Parabolantenne mit Primärfokus: Der Erreger sitzt im Brennpunkt, der grüne Keil ist die Hauptkeule bei halber Leistung, die die Apertur verlässt. Der gezeichnete Winkel folgt θ₃dB auf gestauchter Skala, damit sehr schmale und sehr breite Keulen erkennbar bleiben. Der Spiegel selbst wird in fester Größe gezeichnet — die Notiz oben links nennt seine wahre Breite in Wellenlängen, D/λ. Der Balken darunter zeigt den Gewinn auf einer Skala von 0 bis 70 dBi.

Gilt für eine Kreisapertur auf der Strahlachse und nur, solange der Spiegel mehrere Wellenlängen breit ist. Reale Antennen bleiben durch Überstrahlung, Abschattung, Oberflächentoleranz und Radomverluste zurück, deshalb zählt der gemessene Wert aus dem Datenblatt mehr. Oberhalb von etwa 10 GHz kostet Regenschwund oft mehr als das letzte Dezibel Gewinn.

So funktioniert es

01
In Wellenlängen rechnen

λ = c / f. Bei 12 GHz beträgt die Wellenlänge 2,5 cm, bei 1 GHz sind es 30 cm. Einen Spiegel interessieren weder Meter noch Gigahertz für sich, sondern nur seine Breite in Wellenlängen, D / λ. Ein 1,2-m-Spiegel ist bei 12 GHz 48 Wellenlängen breit, bei 1 GHz nur 4.
02
Das Verhältnis quadrieren

Der Gewinn folgt der Wirkfläche und wächst deshalb mit dem Quadrat dieses Verhältnisses, G = η · (π · D / λ)². Mit 10 · log₁₀(G) wird daraus dBi. Doppelter Durchmesser oder doppelte Frequenz vervierfachen den Gewinn, das sind 6 dB.
03
Aperturwirkungsgrad ansetzen

Keine Antenne nutzt ihre ganze Fläche. η fasst die Ausleuchtung durch den Erreger, die Überstrahlung über den Rand hinaus, die Abschattung durch Erreger und Streben sowie die Oberflächengenauigkeit des Spiegels zusammen. 55 % ist der übliche Planungswert für einen Primärfokus-Spiegel.
04
Keulenbreite lesen und Datenblatt prüfen

Dasselbe Verhältnis bestimmt die Keule, θ_3dB ≈ 70 · λ / D Grad. Unser 1,2-m-Spiegel strahlt bei 12 GHz eine Keule von 1,5°, etwa dreimal so breit wie der Vollmond. Der gemessene Gewinn im Datenblatt enthält zusätzlich Verluste durch Erreger, Radom und Fehlanpassung, die diese Formel nicht kennt.

Formeln

Gewinn einer Kreisapertur

G = η · (π · Dλ)² = 4π · η · Aλ²

G — Gewinn über isotrop, linear (dBi = 10 · log₁₀(G))
η — Aperturwirkungsgrad, 0 bis 1 (typisch 0,55)
D — Spiegeldurchmesser, m
λ — Wellenlänge, m (λ = c / f)
A — geometrische Fläche π · D² / 4, m² (Wirkfläche A_e = η · A)

Gewinn in dBi, praktische Einheiten

G (dBi) = 20 · log₁₀(D) + 20 · log₁₀(f) + 10 · log₁₀(η) + 20,4

D — Durchmesser, m
f — Frequenz, GHz
η — Aperturwirkungsgrad, 0 bis 1

Halbwertsbreite

θ_3dB ≈ 70 · λD

θ_3dB — Breite zwischen den −3-dB-Punkten, Grad
70 — üblicher Wert, 58 bei gleichmäßiger Ausleuchtung und bis etwa 72 bei stark abgesenktem Rand

Rechenbeispiel

Ein 1,2-m-Spiegel bei 12 GHz mit 55 % Wirkungsgrad

λ = 299 792 458 / 12×10⁹ = 0,02498 m
D / λ = 1,2 / 0,02498 = 48,03
G = 0,55 · (π · 48,03)² = 12 520
in dB: 10 · log₁₀(12 520) = 41,0 dBi (38,8 dBd)
θ_3dB ≈ 70 · 0,02498 / 1,2 = 1,46°
A_e = 0,55 · π · 1,2² / 4 = 0,622 m²

FAQ

Warum steigt der Gewinn um 6 dB, wenn sich der Durchmesser verdoppelt?: Weil der Gewinn der Fläche folgt, nicht der Breite. Doppelter Durchmesser bedeutet vierfache Apertur, und 10 · log₁₀(4) = 6,02 dB. Für die Frequenz gilt dasselbe. Bei doppelter Frequenz halbiert sich die Wellenlänge, der Spiegel misst doppelt so viele Wellenlängen und gewinnt weitere 6 dB.
Was steckt im Aperturwirkungsgrad, und warum 55 %?: Er bündelt alle Gründe, warum ein Spiegel hinter seiner geometrischen Fläche zurückbleibt. Der Erreger leuchtet die Mitte stärker aus als den Rand, ein Teil der Energie strahlt am Rand vorbei, Erreger und Streben verschatten die Fläche, und Formfehler streuen den Rest (Ruze-Gleichung). Ein Primärfokus-Spiegel liegt bei 0,55 bis 0,60, eine Offset-Antenne bei 0,65 bis 0,75, eine Cassegrain-Antenne bei 0,65 bis 0,70. ITU-R F.699 schätzt den Maximalgewinn mit 20 · log₁₀(D / λ) + 7,7 dBi, bei D/λ = 100 also rund 48 dBi. Das entspricht einem Wirkungsgrad von etwa 60 %.
Welchen Gewinn hat eine 60-cm-Satellitenschüssel?: Eine 60-cm-Antenne bei 10,5 GHz mit 55 % Wirkungsgrad kommt auf etwa 33,8 dBi, bei einer Keulenbreite von rund 3,3°. Deshalb lässt sich eine Hausantenne von Hand ausrichten, während ein 3-m-Spiegel mit seiner 0,6°-Keule eine steife Halterung braucht.
Wie genau ist die Faustformel 70·λ/D?: Sie ist eine Näherung und trifft bei normaler Ausleuchtung auf etwa ±10 % zu. Der Vorfaktor hängt davon ab, wie der Erreger den Spiegel ausleuchtet. Bei gleichmäßiger Ausleuchtung liegt er nahe 58, bei stark abgesenktem Rand zur Unterdrückung der Nebenkeulen bei etwa 72. Eine Keulenbreite aus dem Datenblatt ist gemessen und schlägt die Formel immer.
Wie genau muss eine Parabolantenne ausgerichtet sein?: Ein Ausrichtfehler kostet ungefähr 12 · (Δθ / θ_3dB)² dB. Eine halbe Keulenbreite daneben kostet also 3 dB, ein Viertel nur 0,75 dB. Bei einer 1,5°-Keule sind damit rund 0,4° Gesamtfehler aus Halterung, Wind und Vermessung tragbar. Oberhalb von 10 GHz wird das zum mechanischen Problem, lange bevor es ein funktechnisches ist.

Eine schmale Keule ist ihren Gewinn nur wert, wenn die Gegenstelle überhaupt sichtbar ist. Waveshed zeichnet Sichtlinie und Funkabdeckung über echten Höhendaten, kostenlos im Browser.

Strecke auf der Karte prüfen →

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Antennendiagramme & das Sensorfeld — der Simulator nimmt Gewinn in dBi und ein Diagramm, der Wert einer Parabolantenne passt also direkt in eine Abdeckungsanalyse
Funkabdeckung planen (RF / ITM) — wo Antennengewinn, Streckendämpfung und Gelände in einer vollen RF-Rechnung zusammenkommen

Quellen & weiterführende Links

ITU-R Recommendation F.699 — Reference radiation patterns for fixed wireless system antennas ↗ — verknüpft den Maximalgewinn mit D/λ (rund 48 dBi bei D/λ = 100) und leitet D/λ aus den gemessenen Keulenbreiten ab
Essential Radio Astronomy, ch. 3 — Radio Telescopes (NRAO / University of Virginia) ↗ — Aperturwirkungsgrad als Verhältnis von Wirkfläche zu geometrischer Fläche, dazu A_e = G·λ² / 4π
C. A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design, 4th ed., ch. 15 (Reflector antennas) ↗ — Herleitung von Aperturgewinn, Randabsenkung und Vorfaktor der Keulenbreite. Wiley 2016, ISBN 978-1-118-64206-1
Parabolic antenna — Wikipedia ↗ — Gewinnformel G = e_A·(π·d/λ)², Halbwertsbreite θ = k·λ/D mit k ≈ 70 für einen üblichen Spiegel, Wirkungsgrade nach Bauart

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